Художник родился в Москве, в семье крупного банковского служащего, и с самого раннего детства проявлял интерес к изобразительному искусству. Его педагогами были яркие представители группы «Бубновый валет». В начале 1920-х годов Поманский занимался в художественной студии Михаила Леблана, затем продолжил образование в школе у Ильи Машкова и у него же - на Центральных высших курсах и в техникуме АХРа (1926-29).
С 1926 года Поманский активно включается в художественную жизнь Москвы, участвует в групповых выставках молодых живописцев и графиков, сотрудничает со многими издательствами и журналами. В 1933 году становится членом Московского союза художников. В эти годы возникает дружба художника с Владимиром Маяковским. Позже с натуры, а потом по памяти Поманский создает серию портретов поэта и его сестры Людмилы.
В 1938 году по ложному доносу Александр Поманский был арестован, но вскоре, по воле случая, амнистирован. В годы Второй мировой художник воевал на разных фронтах, но и тогда не оставлял занятия искусством. Находясь на лечении в Центральном военном госпитале в Лефортово, он расписал большой плафон центрального зала и создал несколько панно. В самом конце войны, по заказу штаба Западной группы войск, художник создает полотно «Переправа через Одер в районе крепости Кюстин». Вернувшись с фронта, Поманский продолжает много работать, но в 1948 году его исключают из творческого союза. Причиной послужила написанная Поманским по заказу, картина «Ведут немцев», на которой художник, недостаточно жестко, по мнению «руководящих товарищей» изобразил недавнего врага. Испуганные, усталые пленные немецкие солдаты вызвали бурный гнев начальства, работу сослали в отдаленный клуб, где она вскоре погибла. Лишь через несколько лет Поманскому удалось восстановиться в Союзе художников.
В последние годы жизни мастер много ездит по стране: Калмыкия, Крым, Кавказ, Прибалтика. В этот период он активно обращается к пейзажу и натюрморту. Но при жизни художника так и не удалось устроить ни одной выставки его произведений. Первая выставка творческого наследия Александра Поманского состоялась лишь спустя пять лет после его смерти.
